Tìm hiểu về tích phân suy rộng và điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Toán thù Lý (PT Đạo hàm riêng rẽ với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác minh bên trên

Nếu trường tồn số lượng giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

*

Thì số lượng giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên
You watching: Tìm hiểu về tích phân suy rộng và điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng

Nếu số lượng giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng

*
là hội tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là khôn cùng hoặc ko mãi sau ta nói tích phân suy rộng lớn

*
là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

*
là hội tụ;
*
là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

*

2.

*
.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

*

Ta có:

*
(*)

– Thứ nhất, Tính tích phân:

*

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

*

Thế vào (*) ta có:

*

(bởi

*
)

Vậy: I quy tụ cùng

*

1.2 Định nghĩa:

*

1.3 Tích phân quan tiền trọng:

Bài tân oán xét sự hội tụ của tích phân:

*
0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />

Nếu

*
1} " class="latex" /> thì tích phân quy tụ.

Nếu

*
thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

*
_x=a^c " class="latex" />

Với s > 1. lúc đó:

*

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo ví dụ trên ta bao gồm chuỗi phân kỳ.

Với s

*
= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn chỉnh quy tụ, trường vừa lòng f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý đối chiếu 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm cùng khả tích bên trên , và f(x) ≤ g(x) ngơi nghỉ ở bên cạnh +∞ ( Tức là x đầy đủ lớn). lúc đó:

Nếu
*
hội tụ thì tích phân
*
hội tụNếu
*
phân kỳ thì tích phân
*
phân kỳ.

See more: Tiền Thân Đức Phật A Di Đà Và Công Đức Thành Tựu Trang Nghiêm Cõi Cực Lạc

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) cùng g(x) không âm với cùng khả tích trên , và f(x) ≤ g(x) sống ở kề bên +∞ ( Tức là x đầy đủ lớn).

Nếu

*

Nhận xét:

– Để xét sự hội tụ của tích phân

*
, ta đề nghị thành lập hàm g(x) làm sao cho
*
. Nghĩa là, f(x) với g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn nắn vậy, ta phải nhận diện với sửa chữa những Ngân hàng Ngoại thương, VCL (khi x → +∞ ) có vào f(x) bằng những VCB, VCL tương tự. Tuy nhiên, buộc phải chăm chú cả nhị hàm f(x) cùng g(x) phải cùng khả tích trên

1.5 Các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

*
.

Rõ ràng: hàm

*
là hàm số dương, xác định cùng liên tục với đa số x ở trong
*
.

khi

*
: lnx là VCL tuy vậy không tìm được VCL tương đương khớp ứng. Vì vậy, ta ko cần sử dụng dấu hiệu đối chiếu 2.

Ta rất có thể sử dụng tín hiệu so sánh 1. Muốn nắn vậy, phải chặn hàm lnx. Ta tiện lợi tất cả bất đẳng thức sau:

*

*

Vậy tích phân sẽ mang lại phân kỳ.( bởi vì tích phân

*
phân kỳ).

lấy ví dụ như 3

*
1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $

Xem xét hàm đem tích phân, ta thấy:

lúc

*

*
1+x^2} \syên x^\frac23 " class="latex" />

Vậy:

*
1+x^2}} \syên \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) và g(x) cùng khả tích bên trên <1;+∞) yêu cầu

*
với
*
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác:

*
quy tụ. (vì chưng s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

lấy ví dụ như 4.

*
x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $

Lúc

*
ta có:

*
x}1+x^2 \sim \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) khẳng định cùng liên tiếp với mọi

*
, còn g(x) không xác định tại x = 0 bắt buộc ta chưa thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.

khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:

*
x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />

– Do

*
x}1+x^2 " class="latex" /> xác định với liên tục bên trên <0;1> buộc phải
*
x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân xác định nên quy tụ.

See more: Tình Hình Nhật Bản Sau Chiến Tranh Thế Giới Thứ 2, Nhật Bản Trong Chiến Tranh Thế Giới Thứ 2

*
x}1+x^2 dx \sim \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> nên quy tụ.


Chuyên mục: Tổng Hợp